Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，且對任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有三個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 先確定2是f（x）的周期，作出函數(shù)的圖象，利用在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有三個不同零點，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以2是f（x）的周期，
令h（x）=mx+m，
則函數(shù)h（x）恒過點（-1，0），
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$在區(qū)間[-1，3]上的圖象
如圖所示：

由x=3時，f（3）=1，可得1=3m+m，則m=$\frac{1}{4}$；由x=1時，f（1）=1，可得1=m+m，則m=$\frac{1}{2}$
∴在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有三個不同零點時，實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．