20．在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=8（如圖）．如果點E在對角線AC上，且DE=4．
（1）求AE的長；
（2）設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{c}$，試用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$．

分析 （1）利用勾股定理計算；
（2）根據(jù)平面向量的線性運算的幾何意義得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=4，AD=AB=5，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=3，OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AE=OA-OE=4-$\sqrt{7}$或AE=OA+OE=4+$\sqrt{7}$．
（2）∵$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=-$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查了勾股定理，平面向量線性運算的幾何意義，屬于基礎題．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．（文科）如圖所示的封閉曲線C由曲線C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和曲線C2：x2+y2=r2（y＜0）組成，已知曲線C1過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點A、B分別為曲線C與x軸、y軸的一個交點．
（Ⅰ）求曲線C1和C2的方程；
（Ⅱ）若點Q是曲線C2上的任意點，求△QAB面積的最大值；
（Ⅲ）若點F為曲線C1的右焦點，直線l：y=kx+m與曲線C1相切于點M，與x軸交于點N，直線OM與直線x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$交于點P，求證：MF∥PN．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$經(jīng)過點$（{1，\frac{3}{2}}）$，離心率為$\frac{1}{2}$，設A、B橢圓C上異于左頂點P的兩個不同點，直線PA和PB的傾斜角分別為α和β，且α+β為定值θ（0＜θ＜π）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．已知函數(shù)f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$，當x∈（0，1]時，f（x）=x2，若在區(qū)間（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-t（x+2）有兩個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{3}$]B．（0，$\frac{1}{2}$]C．[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]D．[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．設函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，且對任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有三個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．（0，$\frac{1}{4}$]B．（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）C．（0，$\frac{1}{2}$]D．[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）-log5x的零點個數(shù)是1．

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9．定義：區(qū)間[x1，x2]（x1＜x2）的長度為x2-x1，若函數(shù)y=|log2$\frac{x}{2}$|的定義域為[m，n]，值域為[0，2]，則區(qū)間[m，n]長度的最小值為$\frac{3}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．若圓C：（x-$\frac{5}{2}$）2+（y-2）2=$\frac{25}{4}$上有4個點到直線x-y+a=0的距離為$\frac{1}{2}$，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�
A．（-2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$）B．[-2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$]C．（-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$）D．[-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$]

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