Question

已知直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R）與直線(xiàn)l′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
（1）若直線(xiàn)l與圓（x-2）²+y²=8相切于點(diǎn)P，求m的值和P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線(xiàn)l′過(guò)拋物線(xiàn)C：x²=4y的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）因?yàn)橹本�(xiàn)l與圓（x-2）²+y²=8相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離等于半徑，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得m的值，再代入求得P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）先根據(jù)對(duì)稱(chēng)和過(guò)拋物線(xiàn)C：x²=4y的焦點(diǎn)求出直線(xiàn)l′，再根據(jù)韋達(dá)定理求得y₁+y₂=-4（x₁+x₂）+2=6，再根據(jù)焦半徑求出|AB|的長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：d=

|2+m|

2

=2

2

，
解得m=2，或m=-6，
當(dāng)m=2時(shí)，P的坐標(biāo)為（0，2），
當(dāng)m=-6時(shí)，P的坐標(biāo)為（4，-2），
（Ⅱ）∵直線(xiàn)l：y=x+m（m∈R），
∴直線(xiàn)l′的方程為y=-x-m，
∵拋物線(xiàn)C：x²=4y
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），
∴m=-1，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
將直線(xiàn)y=-x+1代入拋物線(xiàn)x²=4y，整理得x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=-4，
∴y₁+y₂=-4（x₁+x₂）+2=6，
∴|AB|=y₁+y₂+2=8

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，以及弦的長(zhǎng)度，培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題