Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AA₁=AC=AB，∠BAC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BB₁，A₁B₁，CC₁的中點(diǎn)．求證：AF⊥BG．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)條件以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC，AA₁分別x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法進(jìn)行證明即可．

解答： 證明：∵AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°
∴建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC，AA₁分別x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系如圖：
∵AA₁=AC=AB，
∴設(shè)AA₁=AC=AB=1，
則B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BB₁，A₁B₁，CC₁的中點(diǎn)，
∴F（

1

2

，0，1），G（0，1，

1

2

），
則

AF

=（

1

2

，0，1），

BG

=（-1，1，

1

2

），
則

AF

•

BG

=（

1

2

，0，1）•（-1，1，

1

2

）=-

1

2

+

1

2

=0，
則

AF

⊥

BG

，即AF⊥BG

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線垂直的判斷，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．