Question

（1）關(guān)于x的一元二次不等式2kx²+kx-

3

8

＜0的解集為R，求實數(shù)k的取值范圍．
（2）求與雙曲線

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦點，且過點（3

2

，2）的雙曲線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,一元二次不等式的解法

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得

k＜0…(1) △=k2-4×2k×(- 3 8 )＜0…(2)

，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．
（2）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得c=2

5

，

(2 5 )2

a2

-

4

b2

=1，由此能求出雙曲線的方程．

解答： 解：（1）由題意得：

k＜0…(1) △=k2-4×2k×(- 3 8 )＜0…(2)

，（2分）
不等式（2）化作：k²+3k＜0，（4分）
解得：-3＜k＜0．
則實數(shù)k的取值范圍是（-3，0）．（6分）
（2）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由題意求得c=2

5

．（2分）
又雙曲線過點(3

2

，2)，∴

(2 5 )2

a2

-

4

b2

=1，
又∵a²+b²=20，∴a²=12，b²=8．（4分）
故所求雙曲線的方程為

x2

12

-

y2

8

=1．（6分）

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查雙曲線方程的求法，解題時要認真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運用．