Question

11．已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（-2，0），直線l：（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則λ的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，3）
• B． （-1，1）∪（1，3）
• C． [-1，1）∪（1，3]
• D． [-1，3]

Answer 1

分析 求出直線l恒過(guò)定點(diǎn)，求出A，B與定點(diǎn)的斜率，即可得到λ的取值范圍；

解答 解：由題意，（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R），
則λ（x+y-4）+（3x-y）=0，
∵λ∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直線l所過(guò)定點(diǎn)（1，3）；
∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（-2，0），設(shè)直線l所過(guò)定點(diǎn)為：p，則P的坐標(biāo)（1，3）；
∴k_PA=$\frac{3-0}{1-2}$=-3，k_PB=$\frac{3-0}{1-（-2）}$=1，
∵直線l與線段AB有公共點(diǎn)，
當(dāng)λ=1時(shí)，直線x=1，與線段AB有公共點(diǎn)，
當(dāng)λ≠1時(shí)，直線l的斜率k=$\frac{λ+3}{1-λ}$，
∴$\frac{λ+3}{1-λ}$≥1或 $\frac{λ+3}{1-λ}$≤-3，
解的-1≤λ＜1，或1＜λ≤3，
綜上所述：λ的取值范圍為[-1，3]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，直線的斜率的范圍是解得本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．