Question

2．已知F₂為橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦點，橢圓C上任意一點P到點F₂的距離與點P到直線l：x=m的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（1）求直線l方程；
（2）設(shè)AB是過左焦點F₁的一條動弦，求△ABF₂的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出焦點F，設(shè)P（x，y）為橢圓C上任意一點，利用已知條件列出方程，求出m，即可．
（2）設(shè)AB方程為x=ty-1，與橢圓聯(lián)立，求出三角形的面積的表達式，利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求解最值．

解答 解：（1）F（1，0），設(shè)P（x，y）為橢圓C上任意一點，
依題意有$\frac{{\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}}{{|{x-m}|}}=\frac{1}{2}$，
∴4（x-1）²+4y²=（x-m）²．將4y²=12-3x²代入，
并整理得（8-2m）x+m²-16=0．
由點P（x，y）為橢圓上任意一點知，方程（8-2m）x+m²-16=0對-2≤x≤2的x均成立．
∴8-2m=0，且m²-16=0，解得m=4．
∴直線l的方程為x=4．
（2）由題意可設(shè)AB方程為x=ty-1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（3t²+4）y²-6ty-9=0，∴y₁+y₂=$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{36{t}^{2}}{（3{t}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．
∴△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
令$s=\sqrt{{t^2}+1}≥1$，
則${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{12s}{3{s}^{2}+1}=\frac{12}{3s+\frac{1}{s}}$．當s≥1時，函數(shù)g（s）=3s+$\frac{1}{s}$是增函數(shù)，可得${S}_{△AB{F}_{2}}≤3$．

點評 本題考查了焦點弦與三角形的周長與面積最值問題，注意運用橢圓的定義和轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．