20．用向量證明：若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的投影，則這兩條直線垂直．

分析 畫出圖形，根據(jù)條件，只需把直線表示出向量，利用向量的數(shù)量積為0，證明垂直．

解答 證明：如圖，PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PA在平面α內(nèi)的射影，
設(shè)直線a上非零向量$\overrightarrow{a}$，要證a⊥OA⇒a⊥PA，
即證$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{OA}$=0⇒$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{PA}$=0．
∵a?α，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{PO}$=0，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{OA}$=0+0=0．
∴a⊥PA．

點評 本題考查三垂線定理，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為$2+\sqrt{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，橢圓C上一點$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，過左焦點垂直x軸與橢圓相交所得弦長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點E（1，0）的直線與該橢圓交于P、Q兩點，且|EP|=2|EQ|，求此直線的方程；
（3）斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O是原點，當(dāng)△OAB面積最大時，求直線l的方程；
（4）若P是橢圓C上任意一點，⊙M是以PF2為直徑的圓，求證：⊙M總與定圓x2+y2=a2相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．已知函數(shù)f（x）=x+ex，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx-1的零點依次為a，b，c，則a，b，c從大到小的順序為（　　）
A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．b＞c＞aD．a＞c＞b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，我市某山區(qū)自2005年起開始實行退耕還林．已知2004年底該山區(qū)森林覆蓋面積為a畝．
（1）設(shè)退耕還林后，森林覆蓋面積的年自然增長率為2%，寫出該山區(qū)的森林覆蓋面積y（畝）與退耕還林年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出2009年底時該山區(qū)的森林覆蓋面積．
（2）如果要求到2014年底，該山區(qū)的森林覆蓋面積至少是2004年底的2倍，就必須還要實行人工綠化工程．請問2014年底要達(dá)到要求，該山區(qū)森林覆蓋面積的年平均增長率不能低于多少？
（參考數(shù)據(jù)：1.024=1.082，1.025=1.104，1.026=1.126，lg2=0.301，lg1.072=0.0301）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x3-x2+ax-a，若f（x）只有一個零點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．已知函數(shù)$y=|{log_{\frac{1}{2}}}x|$的定義域為$[{\frac{1}{4}，8}]$，則該函數(shù)值域為[0，3]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．函數(shù)$f（x）=\frac{ln（1+x）}{{\sqrt{1-x}}}$的定義域為（-1，1）．（用集合或區(qū)間表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．已知x，y滿足-$\frac{π}{2}$＜y＜0$＜x＜\frac{π}{2}$，且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos（x+$\frac{y}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

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