【題目】已知橢圓過點,右頂點為點.
(1)若直線與橢圓相交于點兩點(不是左、右頂點),且,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標;
(2)是橢圓的兩個動點,若直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),試判斷直線EF的斜率是否為定值?如果是,求出定值;反之,請說明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1) 設(x1,y1),(x2,y2),聯(lián)立方程組根據(jù)根與系數(shù)的關系,利用,得到,即可得出;
(2) 設點坐標分別為,設直線EF的方程為,聯(lián)立方程得到,利用韋達定理表示,即可得到結(jié)果.
(1)設點坐標分別為,點坐標為,因為,則
,又,代入整理得
, (*)
由得,當時,方程兩根為,則有
,代入(*)得,
所以或,
當時,直線方程為,恒過點,不符合題意,舍去;
當時,直線方程為,恒過點,該點在橢圓內(nèi),則恒成立,
所以,直線過定點.
(2)設點坐標分別為,直線、EF的斜率顯然存在,
所以,設直線EF的方程為,同(1)
由得,(#)
當時,方程兩根為,則有,①
因為直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),則
,又,代入整理得
, ②
①代入②,化簡得,即
所以或,
當時,直線方程為,恒過點,不符合題意,舍去;
當時,方程(#)即,則時,,
所以當且時,恒成立,
所以,直線EF的斜率為定值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,點D為AB延長線上一點,BD=2,連結(jié)CD,則△BDC的面積是 , com∠BDC= .
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【題目】已知向量 =(cosx,sinx), =(3,﹣ ),x∈[0,π].
(Ⅰ)若 ∥ ,求x的值;
(Ⅱ)記f(x)= ,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.
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【題目】如圖,空間四邊形ABCD的兩條對棱AC,BD互相垂直,AC,BD的長分別為8和2,則平行四邊形兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中,面積的最大值是_______________.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.
(Ⅰ)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)設點A的極坐標為(2, ),點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值.
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【題目】已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},則( 。
A.A∩B={x|x<0}
B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1}
D.A∩B=
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【題目】有下列命題:
①“”是“”的充要條件;
②“”是“一元二次不等式的解集為R”的充要條件;
③“”是“直線平行于直線”的充分不必要條件;
④“”是“”的必要不充分條件.
其中真命題的序號為____________.
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【題目】設有數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,….
(1)問10是該數(shù)列的第幾項到第幾項?
(2)求第100項.
(3)求前100項的和.
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