Question

下列五個命題：
（1）y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
（2）終邊在y軸上的角的集合是{x|x=

kπ

2

，k∈Z}；
（3）在同一坐標(biāo)系中，y=sinx的圖象和y=x的圖象有三個公共點；
（4）y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是減函數(shù)；
（5）把y=3sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：根據(jù)二倍角的余弦公式，終邊落在y軸上的角的集合的表示，判斷函數(shù)x-sinx的取值情況，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)的平移變換即可找出真命題的序號．

解答： 解：（1）y=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x；
∴該函數(shù)的最小正周期是π，即該命題為真命題；
（2）對于集合{x|x=

kπ

2

，k∈Z}，取k=0，得到集合{x|x=0}，該集合表示的角的終邊在x軸上，所以該命題為假命題；
（3）設(shè)f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）在R上是增函數(shù)；
∴x≥0時，f（x）≥0，x≥sinx，x=0時取“=”；
x＜0時，f（x）＜0；
∴只有x=0時，x=sinx，即y=sinx與y=x圖象只有一個公共點：（0，0），∴該命題為假命題；
（4）y=sin（x-

π

2

）=-cosx，∵cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴y=-cosx在[0，π]上為增函數(shù)，所以該命題為假命題；
（5）y=3sin（2x+

π

3

）向右平移

π

6

得到y(tǒng)=3sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x，所以該命題為真命題；
∴真命題的序號為（1）（5）．
故答案為：（1）（5）．

點評：考查二倍角的余弦公式，角的終邊落在x軸，y軸上的表示，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)平移變換．