Question

6．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，且點P（a_n，a_n+1）在直線y=x+1上，則$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$=（　�。�

• A． $\frac{2n}{n+1}$
• B． $\frac{2}{n（n+1）}$
• C． $\frac{n（n+1）}{2}$
• D． $\frac{n}{2（n+1）}$

Answer 1

分析 通過將點P（a_n，a_n+1）代入直線y=x+1，進而可知數(shù)列{a_n}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，從而裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而并項相加即得結論．

解答 解：因為點P（a_n，a_n+1）在直線y=x+1上，
所以a_n+1=a_n+1，
又因為a₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，
所以S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
所以$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．