Question

a＞0，a≠1，p：log_a（x+3）在（0，+∞）單調(diào)增，q：x²+（2a-3）+1的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，若p∨q為真，p∧q為假，求a范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：首先，分別求出當(dāng)命題p和命題q為真命題時，實(shí)數(shù)a的取值情形，然后，根據(jù)p∧q為假命題，p∨q為真命題，這個條件，得到p，q命題一真一假，然后，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：若命題p：log_a（x+3）在（0，+∞）上單調(diào)增，為真命題，則a＞1；
若命題q：x²+（2a-3）+1的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)，為真命題，則△=（2a-3）²-4＞0，即a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

，
因?yàn)閜∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p，q命題一真一假．
（1）當(dāng)p真q假時：“a＞1“且“

1

2

≤a≤

5

2

，a≠1“⇒1＜a≤

5

2

，
（2）當(dāng)p假q真時：“0＜a＜1“且“a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

“⇒0＜a＜

1

2

，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

1

2

）∪（1，

5

2

]．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了復(fù)合命題的真假判斷和函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識，屬于中檔題．