Question

1．對于兩個定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實數(shù)m，n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x），g（x）”生成的．
（Ⅰ）若h（x）=2x²+3x+1由函數(shù)f（x）=x²+ax，g（x）=x+b生成，$b∈[\frac{1}{2}，\;1]$，求a+2b的取值范圍；
（Ⅱ）試利用“基函數(shù)$f（x）={log_4}（{4^x}+1），g（x）=x-1$”生成一個函數(shù)h（x），使之滿足下列條件：
①是偶函數(shù)；
②有最小值1．
求h（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b），展開后整理，由系數(shù)相等把a，b用n表示，然后結(jié)合n的范圍求得a+2b的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=m（log₄（4^x+1））+n（x-1），h（x）是偶函數(shù)，則h（-x）-h（x）=0，可得m與n的關(guān)系，h（x）有最小值則必有n＜0，且有-2n=1，求出m和n值，可得解析式

解答 解：（Ⅰ）h（x）=2x²+3x+1=mf（x）+ng（x）=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（ma+n）x+nb$⇒\left\{{\begin{array}{l}{m=2\;\;}\\{ma+n=3}\\{nb=1\;}\end{array}}\right.⇒2a+\frac{1}=3$，
所以$a+2b=\frac{3}{2}-\frac{1}{2b}+2b$，易知上式遞增，
所以$a+2b∈[\frac{3}{2}，\;3]$．
（Ⅱ）設(shè)h（x）=m（log₄（4^x+1））+n（x-1），
因為h（x）是偶函數(shù)，
所以h（-x）-h（x）=0，
即m（log₄（4^-x+1））+n（-x-1）-m（log₄（4^x+1））-n（x-1）=0，
所以（m+2n）x=0，可得：m=-2n．
所以h（x）=-2nlog₄（4^x+1）+n（x-1）=n（-2nlog₄（4^x+1）+x-1）=n（log₄$\frac{{4}^{x}}{（{4}^{x}+1）^{2}}$-1）=n（log₄$\frac{1}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}+2}$-1），
因為$\frac{1}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}+2}$≤$\frac{1}{4}$，
所以log₄$\frac{1}{{4}^{x}+\frac{1}{{4}^{x}}+2}$-1≤-2，
由題意h（x）≥1，
解得n=-$\frac{1}{2}$，從而m=1，
∴h（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$（x-1）．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是對題意的理解與合理轉(zhuǎn)化，是壓軸題．