Question

【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線（，）與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)D滿足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及點(diǎn)的直線的斜率為，求證：.

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），根據(jù)a2=b2+c2，橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），離心率為，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）由題意知點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），G（xD，yD），由題意知xD=﹣4kyD，，從而求出，進(jìn)而得到，由此可知．

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.

由題意可知：，.所以.

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）方法一： ，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)

設(shè) ，

，∴

由，得，

∵，

∴，

，∴．

方法2： ，點(diǎn)D為線段AB中點(diǎn)，

設(shè) ，，∴，

由，得，

∵，∴，

，∵，，∴．

方法3：由，得，

令，得，

設(shè)，

，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，

設(shè)，，

∵，∴，

，

∵，，∴．