Question

設(shè)f(x)=

1

2

cos2x+asinx-

a

4

(0≤x≤

π

2

)．
（1）用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）用二倍角公式對f（x）化簡得f（x）=-sin²x+asinx+

2-a

4

，設(shè)sinx=t，則函數(shù)g（t）是開口向下，對稱軸為t=

a

2

的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對a進(jìn)行討論得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表達(dá)式即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+asinx-

a

4

=-sin²x+asinx+

2-a

4

，
∵0≤x≤

π

2

∴0≤sinx≤1
令sinx=t，則g（t）=-t²+at+

2-a

4

，t∈[0，1]
∴M（a）=

3a 4 - 1 2 (a≥2) 1 2 - a 4 + a2 4 (0＜a≤2) 1 2 - a 4 (a≤0)

．
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，

3a

4

-

1

2

=2?a=

10

3

；

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2?a=3或a=-2（舍）；

1

2

-

a

4

=2?a=-6．
∴a=

10

3

或a=-6．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)．在二次函數(shù)的性質(zhì)的使用的時(shí)候要特別注意對稱軸的位置．