Question

設(shè)數(shù)列{_n}滿足₁＝，_n＋1＝_n²＋₁，．
(Ⅰ)當(dāng)∈(－∞,－2)時(shí)，求證：M；
(Ⅱ)當(dāng)∈(0,］時(shí)，求證：∈M；
(Ⅲ)當(dāng)∈(,＋∞)時(shí)，判斷元素與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

見(jiàn)解析

(I)如果，則，．(2)易采用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（3）本小題難度偏大，一般學(xué)生解決不了，可以放棄，放棄也是一種勇氣，也是一種能力.
本小題的思路是對(duì)于任意，，且．
對(duì)于任意，，
則．所以，．進(jìn)行到此，問(wèn)題基本得以解決
證明：（1）如果，則，． ……………2分
（2） 當(dāng) 時(shí)，（）．
事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，． 設(shè)時(shí)成立（為某整數(shù)），
則對(duì)，．
由歸納假設(shè)，對(duì)任意n∈N^*，|a_n|≤＜2，所以a∈M．…………………6分
（3） 當(dāng)時(shí)，．證明如下：
對(duì)于任意，，且．
對(duì)于任意，，
則．所以，．
當(dāng)時(shí)，，即，因此