Question

10．已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l₁：2x-3y+4=0與直線(xiàn)l₂：x+2y-5=0的交點(diǎn)P，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積是$\frac{9}{2}$，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的求法得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y+4=k（x+5），（k≠0）．分別與坐標(biāo)軸相交于（-$\frac{2}{k}$+1，0），（0，-k+2）．可得$\frac{1}{2}$|（-$\frac{2}{k}$+1）（-k+2）|=$\frac{9}{2}$，解出k即可得出．

解答 解：依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+4=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
故P（1，2）．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y-2=k（x-1），（k≠0）．
分別與坐標(biāo)軸相交于（-$\frac{2}{k}$+1，0），（0，-k+2）．
所以$\frac{1}{2}$|（-$\frac{2}{k}$+1）（-k+2）|=$\frac{9}{2}$，
整理，得：
（k+1）（k+4）=0或k²-13k+4=0．
由（k+1）（k+4）=0得到：k₁=-1，k₂=-4．
由k²-13k+4=0得到：k₃=$\frac{13+3\sqrt{17}}{2}$，k₄=$\frac{13-3\sqrt{17}}{2}$．
所以直線(xiàn)l的方程為y+x-3=0或y+4x-6=0或2y-（13+3$\sqrt{17}$）x+9+3$\sqrt{17}$=0或2y-（13-3$\sqrt{17}$）x+9-3$\sqrt{17}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)的方程與交點(diǎn)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．