Question

已知橢圓的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C：y²=2px以F₂為焦點且與橢圓相交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直線F₁M與拋物線C相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M、N的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若M、N兩點恒在該橢圓內(nèi)部，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距，所以橢圓焦點為F₁（-1，0）F₂（1，0），又拋物線C的焦點為，，由此能求出拋物線C的方程和點M、N的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由M、N兩點在橢圓內(nèi)部，知|F₁M|+|F₂M|＜2a，，c=1，離心率，由此能導(dǎo)出橢圓離心率的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距（1分）
所以橢圓焦點為F₁（-1，0）F₂（1，0）（2分）
又拋物線C的焦點為∴，∴C：y²=4x（3分）
∵M（x₁，y₁）在拋物線C上，
∴y₁²=4x₁，直線F₁M的方程為（4分）
代入拋物線C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，（5分）
∵F₁M與拋物線C相切，∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，（6分）∴x₁=1，∴M、N的坐標(biāo)分別為（1，2）、（1，-2）．（7分）
（Ⅱ）∵M、N兩點在橢圓內(nèi)部，∴|F₁M|+|F₂M|＜2a（9分）
即，∴，（11分）
∴，（12分）
∵c=1，∴離心率，（13分）
又e＞0，∴橢圓離心率的取值范圍為（14分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．