Question

14．已知m≥1，當x∈R時，不等式m+cos²x＜3+2sinx+$\sqrt{2m+1}$恒成立，則m的取值范圍是[1，4）．

Answer 1

分析 分離參數(shù)得m-$\sqrt{2m+1}$＜3+2sinx-cos²x=sin²x+2sinx+2=（sinx+1）²+1≤1．于是m-$\sqrt{2m+1}$＜1，解出m即可．

解答 解：∵m+cos²x＜3+2sinx+$\sqrt{2m+1}$，
∴m-$\sqrt{2m+1}$＜3+2sinx-cos²x=sin²x+2sinx+2=（sinx+1）²+1．
∵-1≤sinx≤1．
∴1≤（sinx+1）²+1≤5．
∴m-$\sqrt{2m+1}$＜1．即m-1＜$\sqrt{2m+1}$．
∵m≥1，∴（m-1）²＜2m+1，即
解得0＜m＜4．
∴1≤m＜4．
故答案為：[1，4）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次不等式的解法，屬于中檔題．