Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=lnx
（1）當(dāng)a=1時，判斷函數(shù)f（x）-g（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點M，N，求a的取值范圍．
（3）設(shè)點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）圖象上的兩點，平行于AB的切線以P（x₀，y₀）為切點，求證x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

解：（1）記F（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，（x＞0）
當(dāng)a=1時，F(xiàn)'（x）=2ax-1-=，（x＞0）
∵當(dāng)x∈（0，1）時F'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時F'（x）＞0
∴函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（2）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的交點橫坐標(biāo)，即為方程f（x）=g（x）的實數(shù)解
由f（x）=g（x），得ax²-x=lnx，可得a=
令r（x）=，求導(dǎo)數(shù)得r'（x）==
∵當(dāng)x∈（0，1）時r'（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時r'（x）＜0
∴函數(shù)r（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞），
可得r（x）的極大值為r（1）=1＞0，
又∵r（）=＜0，當(dāng)x→0時，r（x）→-∞，且當(dāng)x＞1時0＜r（x）＜1
∴r（1）=1是函數(shù)r（x）的最大值，且函數(shù)r（x）的值域為（-∞，1]
因此，要使y=f（x）與y=g（x）圖象有兩個不同的交點M、N，實數(shù)a的取值范圍為（0，1）．
（3）由已知，得=，所以x₀==；
∵函數(shù)y=ln（1+x）-x在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
∴函數(shù)y=ln（1+x）-x的最小值為0，得當(dāng)x＞0時，ln（1+x）-x＞0，可得ln（1+x）＞x
因此，由ln=ln（1+-1）＜-1，故x₀=＞=x₁；
同理可得x₀===＜=x₂
綜上所述，可得x₁＜x₀＜x₂．
分析：（1）記F（x）=f（x）-g（x）=ax²-x-lnx，可得F'（x）=．再討論F'（x）的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（2）由f（x）=g（x）得ax²-x=lnx，可得a=．設(shè)r（x）=，通過研究r'（x）的正負(fù)，得到r（x）的極大值為r（1）=1＞0，當(dāng)x∈（0，1）時，r（x）∈（-∞，1]；且當(dāng)x＞1時0＜r（x）＜1．由此可得當(dāng)y=f（x）與y=g（x）圖象有兩個不同的交點M、N時，實數(shù)a的取值范圍為（0，1）；
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點連線的斜率公式，得=，解出x₀=，利用函數(shù)y=ln（1+x）-x的單調(diào)性，得出ln＜-1，從而得到x₀＞=x₁；類似的方法可證出x₀=＜=x₂．由此即可得到x₁＜x₀＜x₂成立．
點評：本題給出含有字母參數(shù)的二次函數(shù)f（x）和對數(shù)函數(shù)g（x），討論它們的差函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并且討論了兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線的斜率和不等式的證明等知識，屬于中檔題．