Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2 5

5

，過右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為

8 5

5

+4．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)B（-2，0）的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，交圓O：x²+y²=8于M，N兩點(diǎn)，若|MN|∈[4，2

7

]，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：對(duì)第（1）問，由離心率e的值，得a，c的關(guān)系式，由面積易得a，b，c的關(guān)系式，聯(lián)立c²=a²-b²，即可得a，b的值．
對(duì)第（2）問，先設(shè)出直線l的方程，與圓的方程聯(lián)立，消去x，得到一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，得弦長(zhǎng)|MN|的表達(dá)式，由|MN|∈[4，2

7

]，得m的取值范圍；聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，消去x，同樣得到一個(gè)關(guān)于y的另一個(gè)一元二次方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，得弦長(zhǎng)|PQ|的表達(dá)式，再用m表示原點(diǎn)O到直線l的距離d，即得△POQ面積的表達(dá)式，通過m的范圍可探究△POQ面積的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
過F₂且與x軸垂直的直線交C于A，B．
由e=

2 5

5

，得

c

a

=

2

5

，即c=

2

5

a，
結(jié)合b²=a²-c²，得b2=

1

5

a2．
因?yàn)?span id="wuyrftc" class="MathJye">S四邊形AF1BC=S△AF1C+S△BF1C=2S△AF1C，
由S四邊形AF1BC=

8 5

5

+4，得2•

1

2

•(a+c)•

b2

a

=

8 5

5

+4，
即(a+

2

5

a)•

1 5 a2

a

=

8 5

5

+4，解得a²=20，
從而b2=

1

5

×20=4，
故橢圓C的方程為

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）由直線l過點(diǎn)B（-2，0），可設(shè)l：x=my-2，
又設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
聯(lián)立l與圓的方程，消去x，整理，得（m²+1）y²-4my-4=0，
由韋達(dá)定理，得

y1+y2= 4m m2+1 y1y2= -4 m2+1

，且△₁＞0，
則|MN|=

m2+1

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

m2+1

•

( 4m m2+1 )2+ 4×4 m2+1

=4•

2m2+1 m2+1

，
由|MN|∈[4，2

7

]，解得0≤m²≤3．
聯(lián)立

x=my-2 x2 20 + y2 4 =1

，消去x，整理，得（m²+5）y²-4my-16=0，
由韋達(dá)定理，得

y3+y4= 4m m2+5 y3y4= -16 m2+5

，且△₂＞0，
則|PQ|=

m2+1

•

(y3+y4)2-4y3y4

=

m2+1

•

5m2+20 (m2+5)2

，
又原點(diǎn)O到直線l的距離d=

2

m2+1

，
所以S△POQ=

1

2

|PQ|•d=4

5

•

m2+4 (m2+5)2

=4

5

•

- 1 (m2+5)2 + 1 m2+5

，
令

1

m2+5

=t，則S△POQ=4

5

•

-(t- 1 2 )2+ 1 4

，
由0≤m²≤3，得

1

8

≤t≤

1

5

，所以

35

2

≤S_△POQ≤

8 5

5

，
故△OPQ面積的取值范圍是[

35

2

，

8 5

5

]．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了橢圓方程的求法，直線與圓的相交關(guān)系及直線與橢圓的相交關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)與三角形的面積．
2．要確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了條件“c²=a²-b²”外，還需另外兩個(gè)獨(dú)立的條件，求解時(shí)應(yīng)善于根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)或特征尋找關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系．
3．對(duì)于三角形面積的取值范圍或最值問題，一般是先引入?yún)��?shù)，再用參數(shù)表示面積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解．