Question

已知x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f′（3）=0，解出并驗(yàn)證即可．
（2）由（1）可得f′（x）=

2(x-2)(x-3)

x

（x＞0），分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+2x-10（x＞0）．
∵x=3是函數(shù)f（x）=alnx+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（3）=

a

3

+6-10=0，解得a=12．
∴f（x）=12lnx+x²-10x，
經(jīng)過驗(yàn)證a=12滿足條件．
（2）由（1）可得f′（x）=

12

x

+2x-10=

2(x-2)(x-3)

x

，
令f′（x）＞0，解得x＞3或0＜x＜2；令f′（x）＜0，解得2＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），[3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為[2，3）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．