Question

18．已知關于x的方程169x²-bx+60=0的兩根為sinθ，cosθ，$θ∈（{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{3π}{4}}）$．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）求$\frac{sinθ}{1-cosθ}+\frac{1+cosθ}{sinθ}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用韋達定理列出關系式，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求出b的值即可；
（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ與cosθ的值，原式通分并利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，將sinθ與cosθ的值代入計算即可求出值．

解答 解：（1）∵169x²-bx+60=0的兩根為sinθ、cosθ，
∴sinθ+cosθ=$\frac{169}$，sinθcosθ=$\frac{60}{169}$＞0，
∵$θ∈（{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{3π}{4}}）$，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，π），即sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）＞0，
∴（sinθ+cosθ）²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2×$\frac{60}{169}$=（$\frac{169}$）²，
解得：b=±221（負值舍去），則b=221；
（2）∵（sinθ-cosθ）²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1-2×$\frac{60}{169}$=$\frac{49}{169}$，
∴sinθ-cosθ=$\frac{7}{13}$，
∵sinθ+cosθ=$\frac{17}{13}$，
∴sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=$\frac{5}{13}$，
則原式=$\frac{si{n}^{2}θ+1-co{s}^{2}θ}{sinθ（1-cosθ）}$=$\frac{2sinθ}{1-cosθ}$=3．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間基本關系的運用，以及完全平方公式的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．