Question

19．已知a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$為3^a與3^b的等比中項，則$\frac{ab}{4a+9b}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{24}$
• B． $\frac{1}{25}$
• C． $\frac{1}{26}$
• D． $\frac{1}{27}$

Answer 1

分析 由等比中項推導(dǎo)出a+b=1，從而$\frac{ab}{4a+9b}$=$\frac{1}{\frac{4}+\frac{9}{a}}$=$\frac{1}{（\frac{4}+\frac{9}{a}）（a+b）}$=$\frac{1}{\frac{4a}+\frac{9b}{a}+13}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{ab}{4a+9b}$的最大值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\sqrt{3}$為3^a與3^b的等比中項，
∴3^a•3^b=3^a+b=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴a+b=1，
∴$\frac{ab}{4a+9b}$=$\frac{1}{\frac{4}+\frac{9}{a}}$=$\frac{1}{（\frac{4}+\frac{9}{a}）（a+b）}$=$\frac{1}{\frac{4a}+\frac{9b}{a}+13}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4a}•\frac{9b}{a}}+13}$=$\frac{1}{25}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4a}=\frac{9b}{a}$時，取等號，
∴$\frac{ab}{4a+9b}$的最大值為$\frac{1}{25}$．
故選：B．

點評 本題考查代數(shù)式最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式性質(zhì)的合理運用．