Question

試求函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的最大值M（a）與最小值m（a）的表達式．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)零點分段法，當x≥2a時，F(xiàn)（x）=x|x-2a|+3=x²-2ax+3，其圖象開口方向朝上，且以直線x=a為對稱軸，當x＜2a時，F(xiàn)（x）=x|x-2a|+3=-x²+2ax+3，其圖象開口方向朝下，且以直線x=a為對稱軸，結合x∈[1，2]對a值進行分類討論，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的最大值M（a）與最小值m（a）的表達式．

解答： 解：（1）當0＜2a≤1時，a≤

1

2

，
F（x）=x|x-2a|+3=x²-2ax+3，其圖象開口方向朝上，且以直線x=a為對稱軸，
故函數(shù)F（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
故M（a）=F（2）=7-4a，
m（a）=F（1）=4-2a，
（2）當1＜2a＜2時，

1

2

＜a＜1，
函數(shù)F（x）在[1，2a]上F（x）=x|x-2a|+3=-x²+2ax+3為減函數(shù)，
在[2a，2]上F（x）=x|x-2a|+3=x²-2ax+3為增函數(shù)，
故m（a）=F（2a）=3，
此時F（1）=2+2a，F(xiàn)（2）=7-4a，
①若

1

2

＜a≤

5

6

，此時F（2）≥F（1），
故M（a）=7-4a，
②

5

6

＜a＜1，此時F（2）＜F（1），
故M（a）=2+2a，
（3）當2a≥2時，a≥1，
F（x）=x|x-2a|+3=-x²+2ax+3，其圖象開口方向朝下，且以直線x=a為對稱軸，
①若1≤a＜

3

2

，函數(shù)F（x）在[1，a]上為增函數(shù)，在[a，2]上為減函數(shù)，
故M（a）=F（a）=a²+3，
m（a）=F（2）=-1+4a，
②若

3

2

≤a＜2，函數(shù)F（x）在[1，a]上為增函數(shù)，在[a，2]上為減函數(shù)，
故M（a）=F（a）=a²+3，
m（a）=F（1）=2+2a，
③若a≥2，函數(shù)F（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
故M（a）=F（2）=-1+4a，
m（a）=F（1）=2+2a，

點評：本題考查的知識點是帶絕對值的函數(shù)，函數(shù)的最值及其幾何意義，二次函數(shù)的圖象和性質，分類討論思想，由于分類比較復雜，故屬于難題．