Question

【題目】已知為函數(shù)圖象上一點， 為坐標原點，記直線的斜率．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：

Answer 1

【答案】（1）實數(shù)的取值范圍是；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）先利用導數(shù)求出函數(shù)的解析式，并利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點，并將極值點限制在區(qū)間內(nèi)，得出有關的不等式，求解出實數(shù)的取值范圍；（2）利用參數(shù)分離法將問題在區(qū)間上恒成立轉化為不等式在區(qū)間上恒成立，構造新函數(shù)，從而將問題轉化為，借助導數(shù)求函數(shù)的最小值，從而得到實數(shù)的取值范圍；（3）取，由（2）中的結論，即在上恒成立，從而得到在上恒成立，，令，代入上述不等式得到，結合累加法即可證明不等式.

試題解析：（1）由題意， 1分

所以2分

當時， ；當時， ．

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

故在處取得極大值． 3分

因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

所以，得．即實數(shù)的取值范圍是． 4分

（2）由得，令，

則． 6分

令，則，

因為所以,故在上單調遞增． 7分

所以,從而

在上單調遞增,

所以實數(shù)的取值范圍是． 9分

（3）由(2) 知恒成立,

即11分

令則， 12分

所以， ， , ．

將以上個式子相加得：

，

故． 14分

（解答題的其他解法可酌情給分）