Question

【題目】如圖所示將同心圓環(huán)均勻分成n()格.在內(nèi)環(huán)中固定數(shù)字1~n.問能否將數(shù)字1~n填入外環(huán)格內(nèi)，使得外環(huán)旋轉(zhuǎn)任意格后有且僅有一個格中內(nèi)外環(huán)的數(shù)字相同？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)對應(yīng)于內(nèi)環(huán)1，2，…，n的外環(huán)數(shù)字為i1，i2，…，in，它是數(shù)字1，2，…，n的一個排列.對k=1，2，…，n，記外環(huán)數(shù)字ik在按順時針方向轉(zhuǎn)動jk格時，和內(nèi)環(huán)數(shù)字相同，即

,k=1，2，…，n.

根據(jù)題意，j1，j2，…，jn應(yīng)是0，1，2，…，n-1的排列.求和

.

于是n必須是奇數(shù).

對于奇數(shù)n，我們?nèi)?/span>in=n，im=n-m，(m=1，2，…，n-1)，可以驗(yàn)證

jn=0, jn-1=2，jn-2=4，…，，

j1=n-2, jn-1=n-4，j3=n-6，…，，

符合題目要求.