Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且直線2x+y-3=0與橢圓C相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，點M是直線x=2上的一個動點，O為坐標原點過點F作0M的垂線，垂足為K，并延長FK與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，求證：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$求得a²=2c²，將直線方程代入橢圓方程，由直線與橢圓相切可知△=0，即可求得b和a的值，即可求得橢圓方程；
（2）由（1）可知，求得F點坐標，由M（2，m），點N（x，y），根據(jù)向量的坐標表示表示出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，將直線代入即可求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=2c²，問問
由a²=b²+c²，
∴a²=2b²，
$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-2x+3}\end{array}\right.$，整理得：9x²-24x+18-2b²=0，
直線2x+y-3=0與橢圓C相切，
∴△=0，即24²-4×9×（18-2b²）=0，
解得b=1，
∴a=$\sqrt{2}$，
橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：∵F（1，0），點M（2，m），點N（x，y），
FN的方程為：y-0=-$\frac{2}{m}$（x-1），
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（x，y）•（2，m）=2x+ym=2x-m×$\frac{2}{m}$（x-1）=2x-2x+2=2，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$為定值2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，利用橢圓的性質(zhì)求橢圓方程，考查直線與圓，與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題．