Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程；
（2）若?x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²-lnx，f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
因?yàn)閒'（1）=1，f（1）=1，
所以切點(diǎn)為（1，1），
切線方程為y=x．
（2）由已知得f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$．
①若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，則2a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$恒成立，
所以2a≤${（\frac{1}{{x}^{2}}）}_{min}$=1，即a≤$\frac{1}{2}$．
即a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，（f（x））_min=f（1）=a，
與|f（x）|≥1恒成立矛盾．
②當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，令f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=0，得x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$∈（0，1]，
所以當(dāng)x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以（f（x））_min=f（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）=$\frac{1}{2}$（1+ln2a），
由|f（x）|≥1得，$\frac{1}{2}$（1+ln2a）≥1，所以a≥$\frac{e}{2}$．
綜上，所求a的取值范圍是[$\frac{e}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．