Question

13．已知函數(shù)f（x）=-x²+3x•|x-a|，其中a＞0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)在x∈（-1，6）上的值域；
（2）若函數(shù)在x∈（-1，6）上既有最大值又有最小值，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=-x²+3x•|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+6x，x∈（-1，2]}\\{2{x}^{2}-6x，x∈（2，6）}\end{array}\right.$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求值域；
（2）由（1）知，0＜a＜6，化簡(jiǎn)f（x）=-x²+3x•|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+3ax，x∈（-1，a]}\\{2{x}^{2}-3ax，x∈（a，6）}\end{array}\right.$；從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}≤-4-3a}\\{\frac{9{a}^{2}}{16}≥72-18a}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，
f（x）=-x²+3x•|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+6x，x∈（-1，2]}\\{2{x}^{2}-6x，x∈（2，6）}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
f（x）在（-1，$\frac{3}{4}$）上是增函數(shù)，在[$\frac{3}{4}$，2）上是減函數(shù)，
在[2，6）上是增函數(shù)；
而f（-1）=-4-6=-10，f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{4}$，f（2）=-4，f（6）=36；
故函數(shù)在（-1，6）上的值域?yàn)椋?10，36）；
（2）由（1）知，0＜a＜6，
f（x）=-x²+3x•|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+3ax，x∈（-1，a]}\\{2{x}^{2}-3ax，x∈（a，6）}\end{array}\right.$；
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
f（x）在（-1，$\frac{3a}{8}$）上是增函數(shù)，在[$\frac{3a}{8}$，a）上是減函數(shù)，
在[a，6）上是增函數(shù)；
其中f（-1）=-4-3a，f（$\frac{3a}{8}$）=$\frac{9{a}^{2}}{16}$，f（a）=-a²，f（6）=72-18a；
故若函數(shù)在x∈（-1，6）上既有最大值又有最小值，
則$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}≤-4-3a}\\{\frac{9{a}^{2}}{16}≥72-18a}\end{array}\right.$，
解得，4≤a＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用．