Question

6．公差大于0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₃•a₇=105，a₂+a₈=22．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n•S_n=$\frac{4}{3}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）利用a₃+a₇=a₂+a₈=22、a₃•a₇=105及完全平方公式，計算可知a₇-a₃=8，進而可得公差，利用a_n=a₃+（n-3）d計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）裂項b_n=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進而并項相加、放縮即得結(jié)論．

解答 （I）解：∵數(shù)列{a_n}是公差大于0的等差數(shù)列，
∴a₃+a₇=a₂+a₈=22，①
又∵a₃•a₇=105，
∴a₇-a₃=$\sqrt{（{a}_{3}+{a}_{7}）^{2}-4{a}_{3}{a}_{7}}$=8，②
①+②：2a₇=22+8=30，即a₇=15，a₃=7，
∴公差d=$\frac{{a}_{7}-{a}_{3}}{7-3}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=a₃+（n-3）d=2n+1；
（Ⅱ）證明：由（I）可知S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+n=n（n+2），
∵b_n•S_n=$\frac{4}{3}$，
∴b_n=$\frac{\frac{4}{3}}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{3n（n+2）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{2}{3}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
＜1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．