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18.若P(x0,y0)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上異于橢圓頂點的一個動點,過P(x0,y0)作斜率為-x0y02a2的直線l,原點O到直線l的距離為d,F1,F2分別是橢圓C的左右焦點.
(1)判定直線l與橢圓的位置關系
(2)求|PF1|•|PF2|+d2的最小值.

分析 (1)由題意方程求出y的表達式,不妨設y0>0,得到y關于x的函數解析式,求導可得直線l與橢圓相切;
(2)寫出直線方程點斜式,化為一般式,利用點到直線的距離公式求得d2,再由橢圓焦半徑公式求得|PF1|•|PF2|,作和后利用基本不等式求得最值.

解答 解:(1)由橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),得y22=1x2a2
y2=22a2x2,即y=±22a2x2,
∵P(x0,y0)不是橢圓的頂點,
∴不妨設y0>0,則y=22a2x2,
y|x=x0=1222a2x021222a2x0=2a2x0y02=x0y02a2
∴直線l與橢圓相切;
(2)由題意可得直線l的方程為yy0=x0y02a2xx0
整理得:2x0x+a2y0ya22=0,
s4sw6go^{2}=\frac{{a}^{4}^{4}}{^{4}{{x}_{0}}^{2}+{a}^{4}{{y}_{0}}^{2}}=a44a42a22x04+4x02=a42a4c2x02
|PF1|•|PF2|=a+ex0aex0=a4c2x02a4,
∴|PF1|•|PF2|+d2=|PF1|•|PF2|=\frac{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{4}}+\frac{{a}^{4}^{2}}{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}
2a4c2x02a4a42a4c2x02=22=2b
當且僅當a4c2x022=a82,即a4c2x02=a4b時等號成立.

點評 本題考查橢圓的簡單性質,考查了橢圓的切線方程的求法,訓練了利用基本不等式求得最值,考查計算能力,屬于難題.

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