分析 (1)由題意方程求出y的表達式,不妨設y0>0,得到y關于x的函數解析式,求導可得直線l與橢圓相切;
(2)寫出直線方程點斜式,化為一般式,利用點到直線的距離公式求得d2,再由橢圓焦半徑公式求得|PF1|•|PF2|,作和后利用基本不等式求得最值.
解答 解:(1)由橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),得y22=1−x2a2,
∴y2=2−2a2x2,即y=±√2−2a2x2,
∵P(x0,y0)不是橢圓的頂點,
∴不妨設y0>0,則y=√2−2a2x2,
∴y′|x=x0=12(2−2a2x02)−12•(−22a2x0)=−2a2x0√y02=−x0y0•2a2,
∴直線l與橢圓相切;
(2)由題意可得直線l的方程為y−y0=−x0y0•2a2(x−x0),
整理得:2x0x+a2y0y−a22=0,
∴s4sw6go^{2}=\frac{{a}^{4}^{4}}{^{4}{{x}_{0}}^{2}+{a}^{4}{{y}_{0}}^{2}}=a44a42−a22x04+4x02=a42a4−c2x02.
|PF1|•|PF2|=(a+ex0)(a−ex0)=a4−c2x02a4,
∴|PF1|•|PF2|+d2=|PF1|•|PF2|=\frac{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{4}}+\frac{{a}^{4}^{2}}{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}
≥2√a4−c2x02a4•a42a4−c2x02=2√2=2b.
當且僅當(a4−c2x02)2=a82,即a4−c2x02=a4b時等號成立.
點評 本題考查橢圓的簡單性質,考查了橢圓的切線方程的求法,訓練了利用基本不等式求得最值,考查計算能力,屬于難題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | -4 | B. | 6 | C. | -6 | D. | 4 |
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