Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（1）求f（x）的振幅和最小正周期；
（2）求當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈[-π，π]時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）可得f（x）的振幅和最小正周期；
（2）x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，于是可求sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，繼而可得函數(shù)f（x）的值域；
（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： （本題滿分8分）
解：（1）∵f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∴振幅為2，最小正周期為π…（2分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]∴f(x)∈[-1，2]…（5分）
（3）∵

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
∵x∈[-π，π]∴當(dāng)k=0，x∈[

π

6

，

2π

3

]，當(dāng)k=-1，x∈[-

5π

6

，-

π

3

]
∴f(x)的減區(qū)間是[

π

6

，

2π

3

]，[-

5π

6

，-

π

3

]…（8分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性及最值質(zhì)及其求法，著重考查正弦函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．