Question

14．（1）從5位男生與3位女生中選派4名代表參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求其中至少有1位女生，一共有多少種選派方案（用數(shù)字作答）
（2）已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項(xiàng)是第3項(xiàng)，求n的值及展開式中二次項(xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）從問題的反面進(jìn)行解答，只要除去沒有女生的部分；
（2）由題意求出二項(xiàng)展開式的第三項(xiàng)，得到關(guān)于n 的方程，然后利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)．

解答 解：（1）從5位男生與3位女生中選派4名代表參加某項(xiàng)活動(dòng)，共有${C}_{9}^{4}$種不同的選法，
而沒有女生的選法有${C}_{5}^{4}$，所以其中至少有1位女生的選派方案有${C}_{9}^{4}-{C}_{5}^{4}$=121；
（2）因?yàn)椋?\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項(xiàng)是第3項(xiàng)，
所以${C}_{n}^{2}（\sqrt{x}）^{n-2}（-\frac{2}{x}）^{2}$=$（-2）^{2}{C}_{n}^{2}{x}^{\frac{n-4}{2}}$，所以n=6，
所以展開式中二次項(xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)，即${T}_{4}={C}_{6}^{3}（\sqrt{x}）^{3}（-\frac{2}{x}）^{3}=-160{x}^{-\frac{3}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了組合的應(yīng)用以及二項(xiàng)展開式定理的運(yùn)用；屬于基礎(chǔ)題．