Question

4．如圖，在二面角A-CD-B中，BC⊥CD，BC=CD=2，點A在直線AD上運動，滿足AD⊥CD，AB=3．現(xiàn)將平面ADC沿著CD進行翻折，在翻折的過程中，線段AD長的取值范圍是$[\sqrt{5}-2，\sqrt{5}+2]$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件利用向量法得到$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$，利用三角函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為不等式問題進行求解就可．

解答 解：由題意得$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DC}$⊥$\overrightarrow{CB}$，
設(shè)平面ADC沿著CD進行翻折過程中，二面角A-CD-B的夾角為θ，
則＜$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CB}$＞=θ，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$，
∴平方得$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AD}$²+$\overrightarrow{DC}$²+$\overrightarrow{CB}$²+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$+2$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{CB}$，
設(shè)AD=x，∵BC=CD=2，AB=3
∴9=x²+4+4-4cosθx，
即x²-4cosθx-1=0，
即cosθ=$\frac{{x}^{2}-1}{4x}$
∵-1≤cosθ≤1，
∴-1≤$\frac{{x}^{2}-1}{4x}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤4x}\\{{x}^{2}-1≥-4x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x-1≤0}\\{{x}^{2}+4x-1≥0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{2-\sqrt{5}≤x≤2+\sqrt{5}}\\{x≥-2+\sqrt{5}或x≤-2-\sqrt{5}}\end{array}\right.$．
∵x＞0，∴$\sqrt{5}$-2≤x≤$\sqrt{5}$+2，
即AD的取值范圍是$[\sqrt{5}-2，\sqrt{5}+2]$，
故答案為：$[\sqrt{5}-2，\sqrt{5}+2]$

點評 本題主要考查二面角的應(yīng)用，根據(jù)向量法進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，質(zhì)量較高．