Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=8，AC=AB=5，BC=6，點(diǎn)A₁在底面ABC的射影是線段BC的中點(diǎn)O，在側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)E，且OE⊥B₁C．
（1）求證：OE⊥面BB₁C₁C；
（2）求平面A₁B₁C與平面B₁C₁C所成銳二面角的余弦值的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得A₁O⊥面ABC，從而A₁O⊥BC，由等腰三角形性質(zhì)得BC⊥AO，從而EO⊥BC，又OE⊥B₁C，由此能證明OE⊥面BB₁C₁C．
（2）由勾股定理得AO=4，A1O=4

3

，分別以O(shè)C、OA、OA₁為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，求出面A₁B₁C的法向量和面C₁B₁C的法向量，由此能求出平面A₁B₁C與平面B₁C₁C所成銳二面角的余弦值．

解答： 解：（1）證明：∵點(diǎn)A₁在底面ABC的射影是線段BC的中點(diǎn)O，∴A₁O⊥面ABC，
而BC?面ABC，∴A₁O⊥BC，…（1分）
又∵AC=AB=5，線段BC的中點(diǎn)O，∴BC⊥AO，∵A₁O∩AO=O，…（3分）
∴BC⊥面A₁OA，EO?面A₁OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B₁C，B₁C∩BC=C，
B₁C?面BB₁C₁C，BC?面BB₁C₁C，∴OE⊥面BB₁C₁C．…（5分）
（2）解：由（1）知，在△AOB中，AO²+BO²=AB²，則AO=4，
在△A₁AO中，A1A2=AO2+A1O2，則A1O=4

3

分別以O(shè)C、OA、OA₁為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，
C（3，0，0），A₁（0，0，4

3

），
A（0，4，0），B（-3，0，0），∵

AB

⊥

A1B1

，
∴B₁（-3，-4，4

3

），∵

AA1

=

CC1

，
∴C₁（3，-4，4

3

），

CA1

=（-3，0，4

3

），

CB1

=（-6，-4，4

3

），

CC1

=（0，-4，4

3

），
設(shè)面A₁B₁C的法向量

m

=（x，y，z），

m • CA1 =0 m • CB1 =0

，
取

m

=（1，-

3

4

，

3

4

），…（8分）
設(shè)面C₁B₁C的法向量

n

=（x，y，z），

n • CB1 =0 n • CC1 =0

，
取

n

=（0，

3

，1），…（9分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

21

14

，…（11分）
所以平面A₁B₁C與平面B₁C₁C所成銳二面角的余弦值為

21

14

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用．