Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁
（Ⅱ）求證：AC⊥BC₁
（Ⅲ）求直線AB₁與平面BB₁C₁C所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)BC₁∩B₁C=O，由三角形的中位線性質(zhì)可得OD∥AC₁，從而利用線面平行的判定定理證明AC₁∥平面CDB₁，
（Ⅱ）利用勾股定理證明AC⊥BC，證明C₁C⊥底面ABC，可得AC⊥CC₁ ，由線面垂直的判定定理證得AC⊥平面BCC₁B₁ ，從而證得AC⊥BC₁．
（Ⅲ）得到∠AB₁C是直線AB₁與平面B₁BCC₁所成的角，解三角形即可．

解答 解：（Ⅰ）如圖：
設(shè)BC₁∩B₁C=O，則O為BC₁的中點，連接OD，
∵D為AB的中點，∴OD∥AC₁，
又∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）∵AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又∵C₁C∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，∴C₁C⊥底面ABC，∴AC⊥CC₁ ．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁ ．
而BC₁?平面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁ ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得AC⊥平面B₁BCC₁，
∴直線B₁C是斜線AB₁在平面B₁BCC₁上的射影，
∴∠AB₁C是直線AB₁與平面B₁BCC₁所成的角，
在RT△AB₁C中，B₁C=4$\sqrt{2}$，AC=3，
∴tan∠AB₁C=$\frac{3}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
直線AB₁與平面BB₁C₁C所成的角的正切值為$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查證明線線垂直、線面垂直、線面平行的方法，空間中直線與直線間的位置關(guān)系，屬于中檔題．