Question

13．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若a=3，f（$\frac{27}{x}$）=-5，求x的值；
（2）若f（3a-1）＞f（a），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（$\frac{27}{x}$）=-5列出方程，根據(jù)對數(shù)得運算法則解出x；
（2）根據(jù)a的不同范圍討論f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出a．

解答 解：（1）f（$\frac{27}{x}$）=log₃（$\frac{27}{x}$）=-5，∴$\frac{27}{x}$=3^-5，∴x=$\frac{27}{{3}^{-5}}$=$\frac{{3}^{3}}{{3}^{-5}}$=3⁸．
（2）①若a＞1，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴3a-1＞a＞0，解得a＞1．
②若0＜a＜1，則f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴0＜3a-1＜a，解得$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
綜上，a的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)得運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．