Question

5．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a+1}{x}$-alnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程
（2）若在[1，e]（e=2.7182…為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），代入切線方程整理即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)$f（x）=x+\frac{2}{x}-lnx$在[1，e]上的最小值[f（x）]_min≤0，通過討論a的范圍，求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，$f（x）=x+\frac{2}{x}-lnx$，其導(dǎo)數(shù)為${f^'}（x）=1-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為f′（1）=-2，切點(diǎn)為（1，3），
則切線方程為y-3=-2（x-1）∴2x+y-5=0；
（2）在[1，e]上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）≤0，
即函數(shù)$f（x）=x+\frac{2}{x}-lnx$在[1，e]上的最小值[f（x）]_min≤0
易得${f^'}（x）=1-\frac{a+1}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{（{x+1}）（{x-a-1}）}}{x^2}$
①當(dāng)a+1≥e，即a≥e-1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（e）=e+\frac{a+1}{e}-a≤0∴a≥\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$（滿足a≥e-1）
 ②當(dāng)a+1≤1∴a≤0時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴[f（x）]_min=f（1）=1+1+a≤0∴a≤-2（滿足a≤0）；
 ③當(dāng)1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1時，f（x）在[1，a+1]上單調(diào)遞減，在[a+1，e]上單調(diào)遞增．
∴[f（x）]_min=f（1+a）=2+a-aln（a+1）≤0，
∴a≤-2，∵0＜ln（a+1）＜1，∴f（1+a）＞2，
此時在[1，e]上不存在x₀，使得f（x₀）≤0
綜上可得所求a的范圍是$a≥\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$或a≤-2．

點(diǎn)評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．