Question

5．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x²+2（a-2）x+b²=0．
（1）若a∈（-5，2）且a∈Z，b∈（0，4）且b∈Z，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若a∈（-5，2），b∈（0，4），求上述方程無(wú)實(shí)根的概率．

Answer 1

分析 （1）列舉出所有的滿足條件的事件，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果；
（2）a∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的矩形部分，其面積為28，滿足△=4（a-2）²-4b²＜0．a(chǎn)∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的陰影部分，其面積為8，由此能求出方程有實(shí)根的概率．

解答 解：（1）一元二次方程x²+2（a-2）x+b²=0的△=4（a-2）²-4b²≥0．
a∈（-5，2）且a∈Z，b∈（0，4）且b∈Z，基本事件有（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-3，1），（-3，2），（-3，3），（-2，1），（-2，2），（-2，3），
（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），共18個(gè)，
滿足方程有實(shí)根的基本事件有（-4，1），（-4，2），（-4，3），（-3，1），（-3，2），（-3，3），（-2，1），（-2，2），（-2，3），（-1，1），（-1，2），
（-1，3），（0，1），（0，2），（1，1），共15個(gè)，
∴方程有實(shí)根的概率為$\frac{15}{18}$=$\frac{5}{6}$；
（2）a∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的矩形部分，其面積為28，
滿足△=4（a-2）²-4b²＜0．a(chǎn)∈（-5，2），b∈（0，4），圖象如圖所示的陰影部分，其面積為8，∴方程無(wú)實(shí)根的概率．為$\frac{8}{28}$=$\frac{2}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 高中必修中學(xué)習(xí)了幾何概型和古典概型兩種概率問(wèn)題，解題時(shí)，先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．再看是不是幾何概型，它的結(jié)果要通過(guò)長(zhǎng)度、面積或體積之比來(lái)得到．