Question

10．某電器專賣店銷售某種型號的空調，記第n天（1≤n≤30，n∈N⁺）的日銷售量為f（n）（單位；臺）．函數(shù)f（n）圖象中的點分別在兩條直線上，如圖，該兩直線交點的橫坐標為m（m∈N⁺），已知1≤n≤m時，函數(shù)f（n）=32-n．
（1）當m≤n≤30時，求函數(shù)f（n）的解析式；
（2）求m的值及該店前m天此型號空調的銷售總量；
（3）按照經驗判斷，當該店此型號空調的銷售總量達到或超過570臺，且日銷售量仍持續(xù)增加時，該型號空調開始旺銷，問該店此型號空調銷售到第幾天時，才可被認為開始旺銷？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，當m≤n≤30時，設f（n）=kn+b，（n∈N^*），利用f（16）=40，f（30）=68，求出參數(shù)，進而得到f （n）的表達式；
（2）利用1≤n≤m時，函數(shù)f（n）=32-n；當m≤n≤30時，f（n）=2n+8，建立方程，求出m，利用等差數(shù)列的求和公式求出前m天此型號空調的銷售總量；
（3）設該店此型號空調銷售到第x天時，才可被認為開始旺銷，則銷售總量220+$\frac{（x-8）（26+2x+8）}{2}$≥570，求出x，即可得出結論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，當m≤n≤30時，設f（n）=kn+b，（n∈N^*）
∵f（16）=40，f（30）=68，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=40}\\{30k+b=68}\end{array}\right.$，∴k=2，b=8，
∴f（n）=2n+8（m≤n≤30），
（2）∵1≤n≤m時，函數(shù)f（n）=32-n；當m≤n≤30時，f（n）=2n+8，
∴32-m=2m+8，∴m=8．
∴該店前m天此型號空調的銷售總量$\frac{8（31+24）}{2}$=220臺；
（3）設該店此型號空調銷售到第x天時，才可被認為開始旺銷，則銷售總量220+$\frac{（x-8）（26+2x+8）}{2}$≥570，
∴x²+9x-386≥0，∴x≥18，
∴設該店此型號空調銷售到第18天時，才可被認為開始旺銷．

點評 已知函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，是一種常見的題型，關鍵是要知道函數(shù)的類型，利用待定系數(shù)法設出函數(shù)的解析式，然后將函數(shù)圖象上的點的坐標代入求出參數(shù)的值，即可得到要求函數(shù)的解析式．