Question

如圖，有以下命題：設(shè)P、Q是線段AB的三等分點，則有O

P

+O

Q

=O

A

+O

B

把此命題推廣，設(shè)點A₁，A₂，A₃…A_n-1是線段AB的n等分點（n≥3，n∈N^*），則有O

A1

+O

A2

+O

A3

+…O

AN-1

=

n-1

2

（O

A

+O

B

）．

Answer 1

分析：受：“命題：設(shè)P、Q是線段AB的三等分點，則有O

P

+O

Q

=O

A

+O

B

”的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，歸納得出猜想O

A1

+O

A2

+O

A3

+…O

AN-1

=

n-1

2

（O

A

+O

B

）．再利用向量的運算證明結(jié)論．

解答：解：設(shè)

OA

=a，

OB

=b，能得到的結(jié)論是：

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

═

n-1

2

a

+

n-1

2

b

．
證明：
∵

OA1

=

OA

-

A1A

=

a

-

1

n

（

a

-

b

）=

n-1

n

a

+

1

n

b

，

OA2

=

OA

-

A2A

=

a

-

2

n

（

a

-

b

）=

n-2

n

a

+

2

n

b

，
…

OAn-1

=

OA

-

An-1A

=

a

-

n-1

n

（

a

-

b

）=

1

n

a

+

n-1

n

b

，
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=（

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

）

a

+（

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

）

b

 
=

n-1

2

a

+

n-1

2

b

．
故答案為：

n-1

2

．

點評：本題考查類比推理、向量加法、減法的運算法則和幾何意義，并且運用等差數(shù)列求和公式進行計算化簡以及進行合情推理．