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如圖，有以下命題：設P、Q是線段AB的三等分點，則有 $數學公式$ 把此命題推廣，設點A₁，A₂，A₃…A_n-1是線段AB的n等分點（n≥3，n∈N^*），則有 $數學公式$ … $數學公式$ =________（ $數學公式$ ）．

$\text{[math]}$
分析：受：“命題：設P、Q是線段AB的三等分點，則有 $\text{[math]}$ ”的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，歸納得出猜想 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．再利用向量的運算證明結論．
解答：設 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，能得到的結論是： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
證明：
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點評：本題考查類比推理、向量加法、減法的運算法則和幾何意義，并且運用等差數列求和公式進行計算化簡以及進行合情推理．

練習冊系列答案

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