精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，有以下命題：設(shè)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，則有 $數(shù)學(xué)公式$ 把此命題推廣，設(shè)點(diǎn)A₁，A₂，A₃…A_n-1是線段AB的n等分點(diǎn)（n≥3，n∈N^*），則有 $數(shù)學(xué)公式$ … $數(shù)學(xué)公式$ =________（ $數(shù)學(xué)公式$ ）．

$\text{[math]}$
分析：受：“命題：設(shè)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，則有 $\text{[math]}$ ”的啟示，如果點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點(diǎn)，歸納得出猜想 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．再利用向量的運(yùn)算證明結(jié)論．
解答：設(shè) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，能得到的結(jié)論是： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
證明：
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理、向量加法、減法的運(yùn)算法則和幾何意義，并且運(yùn)用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)以及進(jìn)行合情推理．

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