Question

20．若點P，Q分別是曲線y=$\frac{x+4}{x}$與直線4x+y=0上的動點，則線段PQ長的最小值為$\frac{7\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到與直線4x+y=0平行的曲線的切線方程，由平行線間的距離公式求得線段PQ長的最小值．

解答 解：由y=$\frac{x+4}{x}$=1+$\frac{4}{x}$，得y′=$-\frac{4}{{x}^{2}}$，
由$-\frac{4}{{x}^{2}}=-4$，得x²=1，
∴x=±1．
當x=1時，y=5，則與4x+y=0且與曲線y=$\frac{x+4}{x}$相切的直線方程為y-5=-4（x-1），即4x+y-9=0．
此時兩平行線間的距離為$\frac{|-9|}{\sqrt{17}}=\frac{9\sqrt{17}}{17}$；
當x=-1時，y=-3，則與4x+y=0且與曲線y=$\frac{x+4}{x}$相切的直線方程為y+3=-4（x+1），即4x+y+7=0．
此時兩平行線間的距離為$\frac{|7|}{\sqrt{17}}=\frac{7\sqrt{17}}{17}$．
∴曲線y=$\frac{x+4}{x}$與直線4x+y=0上兩動點PQ距離的最小值為$\frac{7\sqrt{17}}{17}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查曲線上兩動點間距離最值的求法，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，屬中檔題．