Question

如圖所示，已知四棱錐P=ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，點(diǎn)F在線段AP上，且滿足PF=λPA．
（Ⅰ）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，求證：DF∥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，求三棱錐F-PCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)，取PB的中點(diǎn)O，連接OF、OC，由已知得四邊形CDFO為平行四邊形，由此能證明DF∥平面PBC．
（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)I，連接PI，則VF-PCD=

1

3

VA-PCD=

1

3

VP-ACD=

3

9

，由此能求出三棱錐F-PCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)，
如圖1，取PB的中點(diǎn)O，連接OF、OC，
則OF∥AB，且OF=

1

2

AB=1
又由題意知，CD∥AB且CD=1，
所以CD∥OF且CD=OF，
故四邊形CDFO為平行四邊形，
所以DF∥OC，又由DF?平面PBC，且OC?平面PBC，
所以DF∥平面PBC．
（Ⅱ）解：如圖2，取BC的中點(diǎn)I，連接PI，由BC=PB=PC=2，
則PI⊥BC，且PI=

3

，
又側(cè)面PBC⊥底面ABCD且平面PBC∩平面ABCD=BC，
所以PI⊥平面ABCD，所以VP-ACD=

1

3

•PI•S△ACD
由題意知，S△ACD=

1

2

BC•CD=1，所以VP-ACD=

3

3

由PF=

1

3

PA，則VF-PCD=

1

3

VA-PCD=

1

3

VP-ACD=

3

9

，
三棱錐F-PCD的體積為

3

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．