Question

20．如圖，已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為2，以雙曲線C的實軸為直徑的圓記為圓O，過點F₂作圓O的切線，切點為P，則以F₁，F(xiàn)₂為焦點，過點P的橢圓T的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}-\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\sqrt{7}-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=2，求得c=2a，由b²=c²-a²=3a²，可得：丨PF₂丨=b，2（丨PF₁丨²+丨PF₂丨²）=（2丨OP丨）²+（2c）²，即可求得丨PF₁丨=$\sqrt{7}$a，根據(jù)橢圓的離心率e₁=$\frac{2c}{\sqrt{7}a+b}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$．

解答 解：由雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，由b²=c²-a²=3a²，
∵PF₂為圓O的切線，
在Rt△POF₂，丨PF₂丨=$\sqrt{丨O{F}_{2}{丨}^{2}-丨OP{丨}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=b，
∴2（丨PF₁丨²+丨PF₂丨²）=（2丨OP丨）²+（2c）²，
丨PF₁丨=$\sqrt{2{a}^{2}+2{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴橢圓T的離心率為e₁=$\frac{2c}{\sqrt{7}a+b}$=$\frac{4a}{\sqrt{7}a+\sqrt{3}a}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的離心率公式，考查橢圓及雙曲線的幾何性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．