Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=3，2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整數(shù)m、n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），得2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），由此能證明{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an-an-1=(

1

2

)n-2，從而得an=4-(

1

2

)n-2，由此能求出使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整數(shù)m、n的值．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
得2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=1為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an-an-1=(

1

2

)n-2，
累加得an=4-(

1

2

)n-2，
則

an-m

an+1-m

＜

2

3

，即：

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

，
由題意知m≥4時無解，
則

m=1 n=1

，

m=2 n=1

，

m=3 n=2.

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的解法，是中檔題，解題時要注意遞推公式的合理運用．