Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1過點A（2，0），B（0，1）兩點．
（1）求橢圓C的方程及離心率；
（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，b=1，則$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，則橢圓C的方程可求，離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標(biāo)，求得|AN|，|BM|．由${S}_{ABNM}=\frac{1}{2}•|AN|•|BM|$，結(jié)合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2．

解答 （1）解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1過點A（2，0），B（0，1）兩點，
∴a=2，b=1，則$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）證明：如圖，
設(shè)P（x₀，y₀），則${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，PA所在直線方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
取x=0，得${y}_{M}=-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$；
${k}_{PB}=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$，PB所在直線方程為$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}x+1$，
取y=0，得${x}_{N}=\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$．
∴|AN|=$2-{x}_{N}=2-\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}=\frac{2-2{y}_{0}-{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，
|BM|=1-${x}_{M}=1+\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=\frac{{x}_{0}+2{y}_{0}-2}{{x}_{0}-2}$．
∴${S}_{ABNM}=\frac{1}{2}•|AN|•|BM|$=$\frac{1}{2}•\frac{2-2{y}_{0}-{x}_{0}}{1-{y}_{0}}•\frac{{x}_{0}+2{y}_{0}-2}{{x}_{0}-2}$
=-$\frac{1}{2}$$\frac{（{x}_{0}+2{y}_{0}-2）^{2}}{（1-{y}_{0}）（{x}_{0}-2）}$=$\frac{1}{2}$$\frac{（{x}_{0}+2{y}_{0}）^{2}-4（{x}_{0}+2{y}_{0}）+4}{{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}{y}_{0}+4{{y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-8{y}_{0}+4}{{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}}$
=$\frac{1}{2}$$\frac{4（{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}）}{{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}}=\frac{1}{2}×4=2$．
∴四邊形ABNM的面積為定值2．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查計算能力與推理論證能力，是中檔題．