Question

10．設數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_N （N≥2）．如果對小于n（2≤n≤N）的每個正整數(shù)k都有a_k＜a_n，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”，記G（A）是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合．
（Ⅰ）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）證明：若數(shù)列A中存在a_n使得a_n＞a₁，則G（A）≠∅；
（Ⅲ）證明：若數(shù)列A滿足a_n-a_n-1≤1（n=2，3，…，N），則G（A）的元素個數(shù)不小于a_N-a₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）結合“G時刻”的定義進行分析；
（Ⅱ）可以采用假設法和遞推法進行分析；
（Ⅲ）可以采用假設法和列舉法進行分析．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題干可得，a₁=-2，a₂=2，a₃=-1，a₄=1，a₅=3，a₁＜a₂滿足條件，2滿足條件，a₂＞a₃不滿足條件，3不滿足條件，
a₂＞a₄不滿足條件，4不滿足條件，a₁，a₂，a₃，a₄，均小于a₅，因此5滿足條件，因此G（A）={2，5}．
（Ⅱ）因為存在a_n＞a₁，設數(shù)列A中第一個大于a₁的項為a_k，則a_k＞a₁≥a_i，其中2≤i≤k-1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；
（Ⅲ）設A數(shù)列的所有“G時刻”為i₁＜i₂＜…＜i_k，
對于第一個“G時刻”i₁，有${a}_{{i}_{1}}$＞a₁≥a_i（i=2，3，…，i₁-1），則
${a}_{{i}_{1}}$-a₁≤${a}_{{i}_{1}}$-${a}_{{i}_{1}-1}$≤1．
對于第二個“G時刻”i₁，有${a}_{{i}_{2}}$＞${a}_{{i}_{1}}$≥a_i（i=2，3，…，i₁-1），則
${a}_{{i}_{2}}$-${a}_{{i}_{1}}$≤${a}_{{i}_{2}}$-${a}_{{i}_{2}-1}$≤1．
類似的${a}_{{i}_{3}}$-${a}_{{i}_{2}}$≤1，…，${a}_{{i}_{k}}$-${a}_{{i}_{k-1}}$≤1．
于是，k≥（${a}_{{i}_{k}}$-${a}_{{i}_{k-1}}$）+（${a}_{{i}_{k-1}}$-${a}_{{i}_{k-2}}$）+…+（${a}_{{i}_{2}}$-${a}_{{i}_{1}}$）+（${a}_{{i}_{1}}$-a₁）=${a}_{{i}_{k}}$-a₁．
對于a_N，若N∈G（A），則${a}_{{i}_{k}}$=a_N．
若N∉G（A），則a_N≤${a}_{{i}_{k}}$，否則由（2）知${a}_{{i}_{k}}$，${a}_{{i}_{k+1}}$，…，a_N，中存在“G時刻”與只有k個“G時刻”矛盾．
從而k≥${a}_{{i}_{k}}$-a₁≥a_N-a₁．

點評 本題屬于新定義題型，重點在于對“G時刻”定義的把握，難度較大．