【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)任意的和恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可; (Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,,恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),由得:;由得:.
∴當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間:
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
(Ⅱ)對(duì)任意的和,恒成立等價(jià)于:
,,恒成立.
即,,恒成立.
令:,,,
則得,
由此可得:在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)時(shí),,即
又∵,
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓的方程為:,為圓上任意一點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為,點(diǎn)在上,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,的面積為,求的最大值,及直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知依次滿足
(1)求點(diǎn)的軌跡;
(2)過點(diǎn)作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)到軸的距離為,且直線與點(diǎn)的軌跡相切,求該橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,是否存在橢圓上的點(diǎn)及以為圓心的一個(gè)圓,使得該圓與直線都相切,如存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程,如不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
討論函數(shù)的單調(diào)性;
設(shè),對(duì)任意的恒成立,求整數(shù)的最大值;
求證:當(dāng)時(shí),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中,參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng). 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖(見下圖).
(1)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)填寫下面的列聯(lián)表,能否有超過的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”?
文科生 | 理科生 | 合計(jì) | |
獲獎(jiǎng) | |||
不獲獎(jiǎng) | |||
合計(jì) |
附表及公式:
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至少擊中3次的概率;先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定0、1、2、3表示沒有擊中目標(biāo), 4、5、6、7、8、9表示擊中目標(biāo),以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù),根據(jù)以下數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為( )
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】40名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) (保留小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字)和眾數(shù);
(3)從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中任選3人,求這3人的成績(jī)都在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過橢圓E:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓E于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A,B是橢圓E的頂點(diǎn),且AB∥OP,F2為右焦點(diǎn),△PF2Q的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點(diǎn)F1作直線l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),若△OCD的面積為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(一),在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥BC,AB=BC=CP,D是CP的中點(diǎn),將△PAD沿AD折起,使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P′的位置得到圖(二),點(diǎn)M為棱P′C上的動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)M在何處時(shí),平面ADM⊥平面P′BC,并證明;
(2)若AB=2,∠P′DC=135°,證明:點(diǎn)C到平面P′AD的距離等于點(diǎn)P′到平面ABCD的距離,并求出該距離.
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